Ich gehe mal davon aus, dass du nicht Eigentümer des Raumes bist und nicht einfach Türteile austauschen kannst und wenig Geld zur Verfügung hast. Daher würde ich dir folgendes raten:
Du solltest zunächst einmal die Schwachstellen beseitigen. Schallschutz an Türen und Fenstern bedeutet v.a. "Liebe zum Detail". 39mm Türblattdicke ist genau zwischen Zimmertür (20-40mm) und Industrietür (ca. 40-60mm). Das ist so weit in Ordnung (außer das Türblatt hat nur 'ne Wabeneinlage).
Die Türzarge sollte eine umlaufende Falz erhalten, d.h. der Luftspalt, den du jetzt sicherlich noch überall zwischen Türblatt und -zarge hast, sollte mit entsprechenden Bandmaterial (im Fachhandel fragen) so weit abgedichtet werden, bis so gut wie keine Luft mehr durchpasst. Ideal wäre die komplette Abdichtung, aber das wird schwer und kleinste Luftspalte sind mit bloßen Auge auch nicht mehr sichtbar. Am besten also im Dunkeln mit Licht durchleuchten (v.a. auf die Regionen rund um das Türschloss achten!!!). Je nach Bandmaterial geht dieses Prozedere auch mehrlagig, bis es passt. Wichtig ist bei einer Mietwohnung, dass das Klebeband rückstandslos wieder abzumachen ist.
Unten am Boden ist die kostengünstigste Lösung eine Anschlagschiene (Bodenschwelle) mit Dichtung, die Schwelle sollte schon wenigstens 1cm hoch sein und hat die von allen kommenden Türdichtungen, die für eine genehmigungsfreie Veränderungen in Frage kommen und nicht zu teuer sind, beste Schalldämmwirkung. Ihr Nachteil ist aber, dass sie eben ein Ärgernis darstellen wird, wenn du ständig Gerät rüberrollen willst, z.B. Racks oder gar ein Klavier/Flügel.
Die Türbänder sollten so eingestellt werden (manchmal nervenaufreibende Feinjustierung), bis die Türblatt an die Dichtung richtig angepresst wird. Ideal wäre es, wenn die Tür auf den letzten Zentimetern nahezu von selbst zufällt. Dann geht's in die richtige Richtung, aber auch das ist schwer machbar. Kommt ja auch immer auf die Türbänder an.
Das Türschloss wäre am besten gar nicht vorhanden oder hat ein kleines Loch, durch das der Schall rausgeleitet werden kann. Ein Profilzylinder wäre nicht schlecht. Buntbartschlösser sind da schlechter. Das solltest du am besten mit absorbierende Material zustopfen. Mehr fällt mir da nicht ein.
Damit hast du erstmal genug zu tun. Die Tür durch Steinwolle zu beschweren heißt auch: Je mehr Gewicht, je mehr müssen die Türbänder halten. Mehr als 50 kg/m² (+/-10%) halten die meisten Türbänder nicht aus. Die Türbänder müssten eventuell ausgetauscht werden oder gar ein drittes Türband installiert werden, was wiederum zu Kosten führt (vom Vermieter mal ganz abgesehen). Mein Tipp: Nach und nach kleine Bleiplatten an die Tür anbringen. Das erhöht auch gleich die Biegesteifigkeit der Tür und du merkst sehr schnell, wann die Türkonstruktion genug hat.
P.S.: Falls du Eigentümer bist, denke dir die Satzteile, die sich auf die Vermieterproblematik beziehen, einfach weg und spare Geld für eine Brandschutztür inkl. neuer Zarge. Die gibt's neu ab 500 € zzgl. Einbau. Schallschutztüren und mehrlagige Türen sind leider richtig teuer (3000 € aufwärts), wenn du sie nicht gebraucht bekommst.
MfG