Hallo Mauzi,
soviel ich weiß, gilt für die Bibel in dieser Hinsicht das gleiche Recht wie sonst für Texte und Übersetzungen auch. Da Übersetzungen auch als kreative Leistungen gelten, fallen sie ebenfalls unter das Urheberrecht. Für deine Frage ist also wichtig zu wissen, um welche Übersetzung es geht. Falls du größere Textstellen zitieren willst, musst du das mit dem Rechteinhaber abklären.
Im englischsprachigen Raum gibt es ein paar gute Übersetzungen in aktueller Sprache, die recht unkompliziert verwendet werden können. Im deutschsprachigen Raum ist mir da leider nix bekannt.