Nur nochmal zum Verständnis. Ich habe das gleiche Spiel bereits hinter mir. Das Problem für die Aufnahme besteht darin, dass die Aufnahme zwar trockener wird, aber auch Resonanzen/Moden auf den Klang wirken und ihn teilweise boxy klingen lassen. Man hört, dass du in einer "Telefonzelle" stehst. Ich hab das sogar schon zweimal durchgemacht (Gesangskabine und selbstgebaute Isolierungsbox für Gitarrenverstärker). Es verändert den Klang deutlich und merklich. Den kleinen Raum, den du in der Aufnahme dann hören kannst, lässt sich auch nicht mehr durch zB nen Reverb überdecken.
Evtl. wäre es sinnvoll vor einem Kleiderschrank oder ähnlichem zu singen (Mikro zeigt Richtung Kleiderschrank, er befindet sich also hinter dem Rapper), um die Rückantwort etwas zu dämpfen. Ansonsten mache ich hier in meinem 10m² Raum Aufnahmen, in dem ich die Sänger sehr nahe (10cm) ans Mikro herantreten lasse. Da ist auch bei schlechter Raumakustik die Antwort nicht mehr so laut, dass es Probleme macht.
Zur Abdämpfung nach außen: Es sind eher die Bassanteile, die über Wände zu deinen Nachbarn übertragen werden und diese dann nerven. Gerade diese Anteile lassen sich aber über Stellwände nicht wirkungsvoll beseitigen. Auch diesem Mythos bin ich damals selbst verfallen. Klar, wenn man daneben steht, wirkt es viel leiser, weil man die hochfrequenten Anteile nicht hört. Für den Nachbarn macht das aber keinen großen Unterschied.
Mein Vorschlag wäre einfach mal 4 Matratzen als Kabine aufzustellen und den Klang zu testen. Wenn das für dich ausreicht, könntest du dir Matratzen dafür organisieren und zusammenstellen. Das dürfte mit 120€ möglich sein. Ich hatte mir damals mit Holzlatten Halterungen gebaut, die die Matratzen oben fixiert haben.